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2 つの封筒があり、それぞれにお金が入ってます。片方の封筒に入っている金額が、もう片方の封筒に 入っている金額の2倍となっていることが分かっています。あなたは、最初にどちらか片方の封筒を選び、中身を見る事ができます。その後、改めてどちらの封 筒を選ぶか決めることができます。二度目に選んだ封筒の中身をもらうことができます。

(1) 最初の封筒に1万円入っていました。この時、封筒を交換する方が得か、交換しない方が得か、あるいはどちらでも同じか？

最初に選んだ封筒を封筒Aとすると、ランダムに封筒を選んだことから、封筒Aが金額の小さい封筒である確率は1/2、金額の大きい封筒である確率は1/2 です。すると、もう片方の封筒Bに入っている金額は、1/2の確率で2万円、1/2の確率で5000円となります。したがって、封筒Bに入っている金額の 期待値は 1/2*20000 1/2*5000=12500 より、12500円となります。封筒Aを封筒Bに交換する事で、期待値が2500円増えますから、交換する方が得です。

(2) (1)の議論は、最初の封筒に入っている金額に無関係に成り立ちます。封筒Aの金額をx円(ただしxは偶数)とすると、封筒Bに2x円入っている確率は 1/2、封筒Bにx/2円入っている確率は1/2なので、封筒Bに入っている金額の期待値は 1/2*2x 1/2*(x/2) = 1.25x 円となり、封筒Aの金額x円よりも 0.25x円ほど期待値が高くなります。したがって、封筒を交換する方が得になります。封筒Aの金額が奇数であれば、必ず封筒Bの方が金額が高く、これも また封筒を交換する方が得をしますから、結局、封筒Aの中身がいくらであっても、必ず封筒Bに交換する方が得をします。ということは、封筒Aの中身を見る までもなく、封筒Bに交換する方が得をする、ということになります。

封筒Aを手に取った時点で、封筒Bに交換する方が得をするために、封筒Bを取りますが、ここで封筒を交換しても良いと言われると、今度は同じ議論で封筒A に交換する方が得をします。このように繰り返すと、封筒を無限に交換し続けることになります。

以上の議論に、どこかおかしいところはあったでしょうか？というパラドックスです。